Phương pháp phần tử hữu hạn là gì? Các công bố khoa học về Phương pháp phần tử hữu hạn

Bản tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng/tổng quát (GEFM/XFEM), tập trung vào các vấn đề về phương pháp luận, được trình bày. Phương pháp này cho phép xấp xỉ chính xác các nghiệm có liên quan đến các điểm nhảy, gấp khúc, kỳ dị, và các đặc điểm không trơn toàn cục khác trong phần tử. Điều này được thực hiện bằng cách làm giàu không gian xấp xỉ đa thức của phương pháp phần tử hữu hạn cổ điển. GEFM/XFEM đã chứng tỏ tiềm năng trong nhiều ứng dụng liên quan đến nghiệm không trơn gần các giao diện, trong đó có mô phỏng nứt vỡ, dải trượt, đứt gãy, đông đặc, và các vấn đề đa lĩnh vực. Bản quyền © 2010 John Wiley & Sons, Ltd.

Các ước lượng sai số a‐posteriori có thể tính toán được cho các nghiệm của phương pháp phần tử hữu hạn được suy ra dưới dạng tiệm cận cho h → 0 khi h là kích thước của các phần tử. Cách tiếp cận này có sự tương đồng với phương pháp dư, nhưng khác biệt ở chỗ sử dụng các chuẩn của không gian Sobolev âm tương ứng với dạng song tuyến tính (năng lượng) đã cho. Để làm rõ, phần trình bày được giới hạn trong các bài toán mô hình một chiều. Cụ thể hơn, các bài toán nguồn, giá trị riêng và bài toán parabolic được xét tới liên quan đến toán tử tuyến tính tự liên hợp bậc hai. Các tổng quát hoá cho các bài toán một chiều chung hơn là đơn giản, và kết quả cũng mở rộng tới các không gian có nhiều chiều hơn; tuy nhiên, điều này đòi hỏi một số cân nhắc bổ sung. Các ước lượng có thể được sử dụng để đánh giá thực tế a‐posteriori độ chính xác của một nghiệm phần tử hữu hạn đã tính toán, và chúng cung cấp nền tảng cho thiết kế của các giải pháp phần tử hữu hạn thích ứng.

Một công thức phần tử hữu hạn bao gồm hiệu ứng áp điện hoặc điện cơ được trình bày. Một sự tương đồng mạnh mẽ được thể hiện giữa các biến điện và biến đàn hồi, và một phương pháp phần tử hữu hạn ‘độ cứng’ đã được suy ra. Phương trình ma trận động của điện cơ được xây dựng và được phát hiện có thể chuyển dạng thành phương trình động lực học cấu trúc đã biết. Một phần tử hữu hạn hình tứ diện được trình bày, triển khai định lý cho ứng dụng đối với các vấn đề điện cơ trong không gian ba chiều.

Bài báo này mô tả một kỹ thuật để tính toán tải trọng giới hạn dưới trong cơ học đất dưới các điều kiện biến dạng phẳng. Để áp dụng định lý giới hạn dưới của lý thuyết dẻo cổ điển, một mô hình đất dẻo hoàn hảo được giả định, có thể là đất kết dính hoàn toàn hoặc có tính kết dính- ma sát, cùng với một quy tắc dòng liên quan. Bằng cách sử dụng một xấp xỉ tuyến tính phù hợp của mặt phẳng nhô, quy trình tính toán một trường ứng suất chấp nhận tĩnh thông qua các phần tử hữu hạn và lập trình tuyến tính. Trường ứng suất được mô hình hóa bằng các tam giác 3 đỉnh tuyến tính và có thể xảy ra các gián đoạn ứng suất chấp nhận tĩnh ở các cạnh của từng tam giác. Việc áp dụng các điều kiện biên ứng suất, cân bằng và nhô dẫn đến một biểu thức cho tải trọng sụp đổ được tối đa hóa với các ràng buộc tuyến tính đối với các ứng suất nút. Vì tất cả các yêu cầu cho một giải pháp chấp nhận tĩnh đều được thỏa mãn chính xác (trừ các lỗi làm tròn nhỏ trong các tính toán tối ưu hóa), giải pháp thu được là một giới hạn dưới chuẩn mực cho tải trọng sụp đổ thực sự và do đó ‘an toàn’.

Một nhược điểm lớn của kỹ thuật này, như được mô tả lần đầu bởi Lysmer,¹ là thời gian tối ưu hóa trên máy tính cần thiết để giải quyết vấn đề lập trình tuyến tính. Bài báo này cho thấy rằng hạn chế này có thể được khắc phục bằng cách sử dụng thuật toán tập hợp chủ động, thay vì chiến lược đơn giản truyền thống hoặc đơn giản đã sửa đổi, để giải quyết vấn đề tối ưu hóa phát sinh. Điều này là do đặc tính của ma trận ràng buộc, vốn luôn rất thưa và thường có nhiều hàng hơn cột. Nó cũng chỉ ra rằng quy trình này có thể, mà không cần sửa đổi, được sử dụng để suy ra các giới hạn dưới chính xác cho một loại đất kết dính hoàn toàn có sức mạnh gia tăng theo chiều sâu. Lớp vấn đề quan trọng này rất khó giải quyết bằng các phương pháp thông thường. Một số ví dụ được đưa ra để minh họa tính hiệu quả của quy trình.

Bài báo này trình bày một quy trình số học mới dựa trên sự kết hợp giữa phương pháp phần tử hữu hạn làm mịn dựa trên cạnh (ES-FEM) với phương pháp phantom-node cho cơ học nứt đàn hồi tuyến tính 2D. Trong phương pháp phantom-node chuẩn, các vết nứt được hình thành bằng cách thêm các nút ảo, và phần tử bị nứt được thay thế bằng hai phần tử mới chồng lên nhau. Cách tiếp cận này tương đối đơn giản để triển khai vào các chương trình phần tử hữu hạn hữu hình hiện có. Các hàm hình dạng liên quan đến các phần tử không liên tục tương tự như các phần tử hữu hạn chuẩn, điều này dẫn đến một số đơn giản hóa khi triển khai trong các mã hiện có. Phương pháp phantom-node cho phép mô hình hóa sự không liên tục tại một vị trí tùy ý trong lưới. Mô hình ES-FEM sở hữu độ cứng gần như chính xác mà mềm hơn nhiều so với các phương pháp phần tử hữu hạn bậc thấp. Tận dụng cả phương pháp ES-FEM và phương pháp phantom-node, chúng tôi giới thiệu một kỹ thuật làm mịn biến dạng dựa trên cạnh cho phương pháp phantom-node. Các kết quả số cho thấy phương pháp được đề xuất đạt được độ chính xác cao so với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) và các giải pháp tham khảo khác.

Gần ba mươi năm kể từ khi ra đời, phương pháp phần tử hữu hạn - phân tán kết hợp (FDEM) đã có những bước tiến đáng kể trong việc trở thành công cụ phân tích chủ yếu trong lĩnh vực Cơ học Tính toán. FDEM được phát triển để hiệu quả “kết nối khoảng cách” giữa hai phương pháp Cơ học Tính toán khác nhau được biết đến với tên gọi là phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp phần tử phân tán. Tại Phòng thí nghiệm Quốc gia Los Alamos (LANL), các nhà nghiên cứu đã phát triển Bộ phần mềm Tối ưu hóa Kết hợp (HOSS) như một nền tảng đa vật lý hybrid, dựa trên FDEM, cho việc mô phỏng hành vi vật liệu rắn được bổ sung bằng những cải tiến công nghệ mới nhất cho tương tác đầy đủ giữa chất lỏng và chất rắn. Trong HOSS, một số thuật toán FDEM mới được phát triển đã được triển khai, mang lại các công thức biến dạng vật liệu chính xác hơn, các bộ giải tương tác giữa các hạt, và các giải pháp về nứt và phân mảnh. Ngoài ra, một bộ giải động lực học chất lỏng tính toán tường minh và một số thuật toán tương tác giữa chất lỏng - chất rắn mới đã được tích hợp hoàn toàn (không chỉ liên kết) vào bộ giải cơ học rắn của HOSS, cho phép nghiên cứu một loạt vấn đề rộng hơn. Những bước tiến như vậy đang dẫn HOSS trở thành công cụ lựa chọn cho các vấn đề đa vật lý. HOSS đã được áp dụng thành công bởi rất nhiều nhà nghiên cứu để phân tích trong cơ học đá, ngành công nghiệp dầu khí, ứng dụng kỹ thuật (kỹ thuật cấu trúc, cơ khí và y sinh), khai thác mỏ, tải nổ, tác động tốc độ cao, cũng như phân tích địa chấn và âm học. Bài báo này nhằm tóm tắt những phát triển và nỗ lực ứng dụng mới nhất cho HOSS.

Tối ưu hình thái (Topology Optimization - TO) là một kỹ thuật số mạnh mẽ để xác định bố trí vật liệu tối ưu trong một miền thiết kế, đã có những phát triển đáng kể trong những năm gần đây. Phương pháp Phần Tử Hữu Hạn (Finite Element Method - FEM) cổ điển được áp dụng để tính toán các phản ứng cấu trúc chưa biết trong TO. Tuy nhiên, một số thiếu sót số trong FEM ảnh hưởng đáng kể đến hiệu quả và hiệu suất của TO. Để loại bỏ ảnh hưởng tiêu cực của FEM đối với TO, Phân Tích IsoGeometric (IsoGeometric Analysis - IGA) đã trở thành một phương án đầy hứa hẹn nhờ vào tính năng độc đáo của nó là mô hình Thiết Kế Hỗ Trợ Bằng Máy Tính (Computer-Aided Design - CAD) và mô hình Kỹ Thuật Hỗ Trợ Bằng Máy Tính (Computer-Aided Engineering - CAE) có thể được hợp nhất thành một mô hình toán học giống nhau. Trong bài báo này, mục tiêu chính là cung cấp một cái nhìn tổng quát toàn diện về sự phát triển của Tối ưu Hình Thái Isogeometric (Isogeometric Topology Optimization - ITO) trong các phương pháp và ứng dụng. Cuối cùng, một số triển vọng cho sự phát triển của ITO trong tương lai cũng được trình bày.

Một khung phân tích đa quy mô đơn giản cho các chất rắn không đồng nhất dựa trên kỹ thuật đồng nhất tính toán được trình bày. Biến dạng vĩ mô được liên kết động học với sự dịch chuyển biên của một thể tích đại diện hình tròn hoặc hình cầu chứa thông tin vi mô của vật liệu. Ứng suất vĩ mô được thu được từ nguyên lý năng lượng giữa quy mô vĩ mô và quy mô vi mô. Phương pháp mới này được áp dụng cho một số ví dụ tiêu chuẩn để chứng minh độ chính xác và tính nhất quán của phương pháp đã đề xuất.